2020，又一位數(shù)學(xué)大師仙逝。
7月6日，美國著名數(shù)學(xué)家葛立恒（Ronald Graham）因病逝世，享年85歲。
雖然很多數(shù)學(xué)愛好者不敢相信這個事實，但美國數(shù)學(xué)學(xué)會（AMS），已在官網(wǎng)發(fā)布了葛立恒的訃告：
這位曾經(jīng)的AMS主席獲得官網(wǎng)這樣的評價——他是離散數(shù)學(xué)的領(lǐng)軍人物。
與葛立恒合作過25篇論文的數(shù)學(xué)家Steve Butler也在社交媒體上證實了這一消息。
這位傳奇數(shù)學(xué)家留給大眾最重要的遺產(chǎn)，就是葛立恒數(shù)，這個數(shù)學(xué)證明中用到的最大數(shù)曾入選吉尼斯世界紀(jì)錄為人熟知。
而葛立恒數(shù)僅僅是他的一點貢獻(xiàn)，葛立恒還在組合數(shù)學(xué)、圖論、調(diào)度理論、計算機科學(xué)等諸多領(lǐng)域都做出過巨大貢獻(xiàn)。
我們都聽過所謂的“六度理論”，即任意兩人之間都可以通過不超過6個人的人脈關(guān)系聯(lián)系起來，這一理論恰恰是由葛立恒1979年的一篇論文發(fā)展而來。
而且，葛立恒不僅僅是一名數(shù)學(xué)家，還是一名雜技演員、魔術(shù)師。
傳奇數(shù)學(xué)家
如果你不熟悉葛立恒，那一定會覺得他的名字非常特殊。
Graham通常翻譯做格雷厄姆，為何Ronald Graham卻翻譯成了“葛立恒”這樣一個有中國特色的名字？
原因是葛立恒有一位華人妻子金芳蓉。金芳蓉也是圖論領(lǐng)域的專家，夫妻二人同是加州大學(xué)圣迭戈分校的數(shù)學(xué)教授。
葛立恒一生共發(fā)表350多篇論文和書籍，其中與妻子合作的就有90多篇。
談到和葛立恒的婚姻，金芳蓉這樣描述：
“許多數(shù)學(xué)家不愿嫁給同專業(yè)的人。他們擔(dān)心二人之間會過于競爭。我們不僅都是數(shù)學(xué)家，而且都在同一領(lǐng)域工作。因此，我們可以理解和欣賞對方的工作，而且我們可以一起工作，有時會取得很好的進(jìn)展。”
在生活中，葛立恒與另一位天才數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erdős）也有一段令人稱頌的友誼，兩人合作過30多篇論文。
 葛立恒夫婦與埃爾德什 葛立恒夫婦甚至還在家中留有一個專門的房間，給埃爾德什長期拜訪居住。
由于埃爾德什比葛立恒大22歲，后來葛立恒還負(fù)責(zé)起埃爾德什的起居生活，包括管理收入、納稅還有幫他買衣服。
埃爾德什去世后，葛立恒負(fù)責(zé)打理由埃爾德什設(shè)立的獎金——埃爾德什獎，這筆獎金用于獎勵那些解決某難題的青年才俊科學(xué)家，陶哲軒也曾獲獎。
出生于1935年的葛立恒，于1962年獲得了加州大學(xué)伯克利分校的博士學(xué)位，此后進(jìn)入了AT&T的貝爾實驗室工作，之后擔(dān)任該實驗室首席科學(xué)家。
在他的帶領(lǐng)下，貝爾實驗室建成了世界一流的離散數(shù)學(xué)和理論計算機科學(xué)研究中心。
在此期間，他曾在普林斯頓大學(xué)、斯坦福大學(xué)、加州理工學(xué)院、加州大學(xué)洛杉磯分校和戴維斯分校擔(dān)任訪問職位。葛立恒1999年被任命為加州大學(xué)圣迭戈分校的計算機與信息科學(xué)系主任。
2003年，葛立恒獲得了美國數(shù)學(xué)學(xué)會頒發(fā)的斯蒂爾終身成就獎。
多才多藝的葛立恒，在此期間還有其他“副業(yè)”，他曾在1972年擔(dān)任國際雜技演員協(xié)會主席。
葛立恒精通體操和蹦床，也是個會雜技的魔術(shù)師。
這些副業(yè)也給了他主業(yè)巨大的扶持。當(dāng)葛立恒在研究數(shù)學(xué)問題受困時，他會在工作場所來一些雜耍動作放松頭腦，獲得靈感。
說到這里，你是否覺得葛立恒的人生已經(jīng)足夠開腦洞，而他最重要的葛立恒數(shù)才是把腦洞開到最大。
什么是葛立恒數(shù)
說到這里，我們進(jìn)入燒腦環(huán)節(jié)。這個號稱最大數(shù)的葛立恒數(shù)定義是這樣的：
△ 圖片引自waitbutwhy
為了搞清楚上面的標(biāo)記到底是啥意思，我們先來介紹一個新的工具。
過去人們用科學(xué)記數(shù)法來表示大數(shù)實在是弱爆了，于是著名計算機學(xué)家高德納想到了一個更好的辦法。
沒錯，就是那位獲得1974年圖靈獎、還在寫《計算機程序設(shè)計藝術(shù)》的計算機大神高德納。
他提出的表示法被叫做高德納箭頭——通過不停給指數(shù)“套娃”的方式來構(gòu)造大數(shù)。
一個高德納箭頭表示普通的指數(shù)：
3↑3 = 33 = 27
兩個高德納箭頭表示指數(shù)嵌套的層數(shù)：
3↑↑3 = 3↑（3↑3）=3↑27 = 327 = 7625597484987
三個高德納箭頭是把二重箭頭再算一遍：
3↑↑↑3 = 3↑↑（3↑↑3） = 3↑↑7625597484987 = ……
更直觀的表示是這樣的，總共嵌套了7625597484987層指數(shù)：
算到這里，3↑↑↑3已經(jīng)是一個“天文”數(shù)字。算出它不可能，就是把它所有的指數(shù)寫下來，也需要天文級別長度的紙條。
因為，如果我們每隔2厘米寫一個3，那么得從地球?qū)懙教柋砻妗?/P>
 圖片來源：waitbutwhy 四個高德納箭頭就是把三箭頭再嵌套一次：
3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑（3↑↑↑3） = 3↑↑↑（一個需要寫到太陽的數(shù)） = ？？？
隨著箭頭的增長，數(shù)字的增長速度比指數(shù)函數(shù)不知道快多少倍。
然而這還僅僅是葛立恒數(shù)的第一層，也就是第二層的箭頭數(shù)，第二層的數(shù)又是第三層的箭頭數(shù)，……，葛立恒數(shù)這個“老千層餅”總共有64層。
這個數(shù)到底有多大？大到你的腦洞變成黑洞也裝不下。
我們不僅沒法算出來葛立恒數(shù)，甚至連葛立恒數(shù)位數(shù)的位數(shù)也無從知曉。
全宇宙的原子數(shù)量在葛立恒數(shù)面前就是0。假如你的腦子要裝下葛立恒數(shù)，存儲這個數(shù)的信息熵會大到讓你的腦子變成黑洞。
至于葛立恒數(shù)的最后500位是這樣的：
… 02425950695064738395657479136519351798334535362521430035401260267716226721604198106522631693551887803881448314065252616878509555264605107117200099709291249544378887496062882911725063001303622934916080254594614945788714278323508292421020918258967535604308699380168924988926809951016905591995119502788717830837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262195195387
葛立恒數(shù)有什么用
為了防杠，在這里我們需要強調(diào)：比葛立恒數(shù)大的數(shù)還有無窮多個！
比如給葛立恒數(shù)加一、乘二，都能得到比它更大的數(shù)，但這些數(shù)字都沒有具體的數(shù)學(xué)意義。
葛立恒數(shù)是有數(shù)學(xué)意義的最大數(shù)字（直到TREE（3）出現(xiàn)）。
那么，一個研究離散數(shù)學(xué)的人是怎樣和巨大數(shù)字打起了交道？這要從葛立恒研究的圖論說起。
葛立恒當(dāng)年研究了拉姆齊理論中的一個問題：給n維立方體的邊上色。我們先從最簡單的二維立方體，也就是正方形說起。
正方形總有有4個頂點，把這些頂點全部兩兩連起來，總共會有6條線。這種把所有點全部連起來的圖，在數(shù)學(xué)上叫做完全圖。
 圖片來源：YouTube @Numberphile 如果我們規(guī)定6條邊只能涂上紅藍(lán)兩種顏色，那么在一個平面里會不會有單色的完全圖呢？
葛立恒在5年前的科普視頻里告訴我們，在正方形上，確實可以找到一種涂色方法，可以不出現(xiàn)單色的完全圖。
 紅色邊所連3點沒有構(gòu)成完全圖，因為底邊是藍(lán)色（來源同上） 那么到了3維情況會如何？立方體頂點間總共有28條連線，給它們按照以下方式上色。
你注意到了嗎？有一個斜的平面中有個單色完全圖，可是如果我們把最下面的邊換成藍(lán)色，那么就不能在任意一個平面內(nèi)找到單色完全圖了。
如果到4維、5維、6維……空間中的立方體，是不是存在一種涂色方法，讓人找不到平面內(nèi)的單色完全圖呢？
通過具體的例子，我們發(fā)現(xiàn)2維、3維中立方體中，確實能找到這樣的涂色方法、但是數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)維度n大于一個數(shù)后，就再也找不到符合要求的涂色方法了。
至于n到底有多大，數(shù)學(xué)家到現(xiàn)在也沒有完全證明，只能給出一個范圍。
 數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明n≥13（來源同上） 而葛立恒證明，這個n最大不會超過葛立恒數(shù)。
《科學(xué)美國人》雜志的專欄作家Martin Gardner在大眾科普中介紹了上述問題，葛立恒數(shù)的名稱由此而來。
Gardner在文章里這樣描述葛立恒數(shù)：
“其范圍如此之大，以至是嚴(yán)肅數(shù)學(xué)證明中使用的最大數(shù)�！�
雖然后來有更大的TREE（3）超越它，但是葛立恒數(shù)已經(jīng)如此深入人心，以至于人們一提到最大數(shù)，首先就想到它。
今年我們已經(jīng)失去了John Conway和葛立恒兩位數(shù)學(xué)大師，令人惋惜。
斯人已逝，相信葛立恒已經(jīng)和好友埃爾德什在另一個世界相聚。
如果寄托的哀思有一個數(shù)量限制的話，那一定是葛立恒數(shù)。
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